Арифметические действия методом "треугольника"

Новизна предложенного метода подтверждена редакциями таких научно-популярных журналов, как: "Наука и жизнь", "Универсум", "Алгебра и логика", "Закавказский математический журнал", "Вестник науки, культуры, образования", "Математика в высшей школе".


Название дано по схожести с треугольной формой образующейся матрицы цифр промежуточных вычислений. Данным способом можно выполнять сложение, умножение и вычитание чисел. Предлагаемый к рассмотрению арифметический метод, объединяет в себе особенности двух других известных методов вычисления. "Столбиком", когда действия производятся от разряда "единиц" к большим разрядам, с записью сумм всех промежуточных результатов по ходу основного вычисления (для чего некоторые цифры приходится держать "в уме"). И метода "переноса", когда все промежуточные вычисления записываются построчно со смещением второго разряда (если он есть) на одну колонку влево, а окончательный результат получается последовательным сложением каждой колонки промежуточных вычислений.
Приведу записи вычисления этими методами на примере сложения двух чисел:
6389+5734=12123 (Таблица1.1, рис.1 Ссылки на все таблицы представлены внизу страницы)

Последовательность действий методом "треугольника" может проводиться как слева направо, так и справа налево с записью сумм промежуточных результатов сразу по ходу основного вычисления.
Пример сложения тех же чисел методом "треугольника"(Таблица 1.1, рис.2)

Сложение.

Опишем пошагово пример "слева направо":
1. Складываем цифры 6 и5 разряда "тысячи" первого и второго слагаемых. Получаем сумму 11. Правую цифру 1 числа 11 записываем в колонку разряда "тысяч", а левую цифру 1 переносим на один разряд влево и записываем в колонку разряда "десятков тысяч" (Таблица1.2, рис.1)

2.Складываем цифры 3 и 7 разряда "сотен". Из полученной суммы 10, цифру 0 записываем в колонку разряда "сотен", а цифру 1 переносим на один разряд влево, где уже записана цифра 1 из предыдущего шага вычислений. Складываем их, и полученное число 2 записываем под цифрой 1 в колонке разряда "тысяч"(Таблица1.2, рис.2)

3. Складываем цифры 8 и 3 разряда "десятков" первого и второго слагаемых. Из полученной суммы 11 правую цифру 1 записываем в колонку разряда "десятков", а левую цифру 1 переносим в колонку разряда "сотен", где уже стоит цифра 0. Складываем их, и полученное число 1 записываем под цифрой 0 в колонке разряда "сотен" (Таблица1.2, рис.3)

4. Складываем цифры 9 и 4 разряда "единиц" первого и второго слагаемых. Из полученной суммы 13 цифру 3 записываем в колонку разряда "единиц", а цифру 1 переносим на один разряд влево, в колонку разряда "десятков", где нижней стоит цифра 1. Складываем их, и полученное число 2 записываем под цифрой 1 в колонке разряда "десятков" (Таблица1.2, рис.4)

5. Сносим все нижние цифры каждой колонки в одну строку, получаем окончательную сумму вычисления (Таблица1.2, рис. 5)



Умножение
Принцип записи результатов промежуточных вычислений при умножении методом "треугольника "аналогичен сложению. Приведу описание примера умножения чисел 57 и 89 (слева направо). Ход действий каждого шага вычисления показан стрелками.
Каждый разряд пронумерован цифрами (нижняя строка таблиц).

1. Умножаем первую цифру 5 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

1.1 5х8=40. Цифру 0 записываем в третий разряд (Запись начинается с третьего разряда т.к. цифра 5 множителя 57 - основная цифра первого промежуточного этапа вычислений стоит в столбце третьего разряда). Цифру 4(числа 40) переносим на один разряд влево и записываем в столбец четвертого разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления ( Таблица2.1, рис.1)


1.2 5х9=45. Цифру 5 (числа 45) записываем в столбец второго разряда, т.е. смещаемся на один разряд вправо относительно разряда, с которого начинали предыдущий шаг вычислений (третьего разряда). Цифру 4 (числа 45) переносим на один разряд влево уже относительно только что записанной цифры 5 (в третий разряд), где нижней стоит цифра 0, складываем их. Сумму 4 записываем под цифрой 0 третьего разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления ( Таблица2.1, рис.2)

2. Умножаем вторую цифру 7 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

2.1 7х8=56. Запись начинаем со второго разряда, т.к. цифра 7,основная цифра этого этапа промежуточных вычислений, стоит в этом столбце. Число 56 складываем с цифрой 5, которая стоит нижней в этом разряде (из предыдущих вычислений). Получаем сумму 61. Цифру 1 (числа 61) записываем под цифрой 5 в столбец второго разряда, а цифру 6 переносим в третий разряд таблицы, где уже стоит цифра 4(нижняя в столбце третьего разряда). Складываем их, в сумме получаем число 10. Цифру 0 (числа 10) записываем под цифрой 4 в столбец третьего разряда, а цифру 1 переносим в четвертый разряд и складываем её со стоящей в этом разряде цифрой 4. Сумму 5 записываем под цифрой 4 в столбец четвертого разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления (Таблица2.1, рис.3)

2.2 7х9=63. Цифру 3 (числа 63) записываем в столбец первого разряда, т.е. смещаемся на один разряд вправо относительно предыдущего шага вычислений (в предыдущем шаге запись начинали со второго разряда, где стоит цифра 7 –основная цифра этого этапа вычислений). Цифру 6 (числа 63) переносим на один разряд влево относительно цифры 3 (во второй разряд), где нижней в столбце стоит цифра 1. Складываем их, в сумме получаем 7. Записываем цифру 7 под цифрой 1 в столбец второго разряда. Окончательное вычисление имеет следующий вид(Таблица2.1, рис.4)

Записав нижние цифры каждого столбца в одну строку, получаем итоговый результат вычислений: 5073 (Таблица2.1, рис.5)

Тот же пример умножения вычислением "справа налево" показан в Таблице2.2



Гогенн

2004 г.